───────────────────────────────────────────────────────────────────

Ancient Egyptian Fractions...

Ancient Egyptian mathematicians drew tables to split fractions 
into combinations of smaller fractions. For example :   

                     
   1/2   = (  1/3   +   1/6  ) = (  2/6   +   1/6  ) =   3/6  
 
                     
   1/3   = (  1/4   +   1/12 ) = (  3/12  +   1/12 ) =   4/12  

                     
   1/4   = (  1/5   +   1/20 ) = (  4/20  +   1/20 ) =   5/20  

                     
   1/5   = (  1/6   +   1/30 ) = (  5/30  +   1/30 ) =   6/30  

                     
   1/6   = (  1/7   +   1/42 ) = (  6/42  +   1/42 ) =   7/42  
   ...
   1/7   = (  1/8   +   1/56 ) = (  7/56  +   1/56 ) =   8/56  
   1/8   = (  1/9   +   1/72 ) = (  8/72  +   1/72 ) =   9/72  
   1/9   = (  1/10  +   1/90 ) = (  9/90  +   1/90 ) =  10/90  
   1/10  = (  1/11  +   1/110) = ( 10/110 +   1/110) =  11/110 
   1/11  = (  1/12  +   1/132) = ( 11/132 +   1/132) =  12/132 
   1/12  = (  1/13  +   1/156) = ( 12/156 +   1/156) =  13/156 
   ... 

───────────────────────────────────────────────────────────────────

By replacing one fraction in one row with its (sum-pair) equivalent
listed in the row immediately below, it is possible to create very
extremely "chains" of fractions equivalent to even the simplest
fraction... 

                 
   1/2 = ( ( ( ( ( 1/7 + 1/42 ) + 1/30 ) + 1/20 ) + 1/12 ) + 1/6 ) 

───────────────────────────────────────────────────────────────────

Algebraic Proof...

From the table above, we might (deduce?) "recognise a pattern",
(...that in "generalised terms", may be reduced to a claim that...) 
any fraction of the form "1/n" can be rewritten as the sum of two
smaller fractions, "1/(n+1)+1/((n*n)+n)", or in further simplified
terms, as (1/n) == (1/(n+1)+1/(n*(n+1))) , ... 

  ... where "n" is any "whole number" greater than "zero" ...


 ((1/n)) = 1/(n+1)+1/((n*n)+n) = n/((n*n)+n)+1/((n*n)+n) 

                               = (n+1)/((n*n)+n) 
     or ...

 ((1/n)) = 1/(n+1)+1/(n*(n+1)) = n/(n*(n+1))+1/(n*(n+1)) 

                               = (n+1)/(n*(n+1)) 

                               = (1/n)*( (n+1) / (n+1) ) 

                               = (1/n)*(1) 

                               =((1/n)) 

─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─
/** ... /
// JavaScript test code ... Tue Jun 07 2022 00:02:34 GMT+0100 (British Summer Time) 
const n = window.parseInt(Math.random( )*(Number.MAX_SAFE_INTEGER/1)); window.alert([1/n==1/(n+1)+1/(n*(n+1)) , n , 1/n , 1/(n+1)+1/(n*(n+1)) ]);
// Note to self: 
// ... frequent false results are likely due to digital-floating-point precision errors ... try reducing Number.MAX_SAFE_INTEGER by 1/2,1/3 ... ?;
/**/
───────────────────────────────────────────────────────────────────